13 Φεβρουαρίου 2012

Διαίρεση Κλασμάτων

Πώς διδάσκουμε τη διαίρεση των κλασμάτων; Πρώτα από όλα ξεχάστε το: «αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα και κάνω πολλαπλασιασμό». Γιατί; Επειδή είναι μια ακατανόητη φράση.

Στην πραγματικότητα η διαίρεση των κλασμάτων, η διαίρεση δύο δεκαδικών αριθμών και η απλοποίηση στηρίζονται σε μια πολύ απλή ιδιότητα της διαίρεσης: Αν πολλαπλασιάσεις τον διαιρετέο και τον διαιρέτη με τον ίδιο αριθμό, το αποτέλεσμα της διαίρεσης δεν αλλάζει. Π.χ.,

10:2 =

(10·2):(2·2)=

20:4=5

Γιατί ισχύει αυτό; Τα παιδιά του Δημοτικού μπορούν να ικανοποιηθούν αν πειραματαστούν με μερικές διαιρέσεις με το κομπουτεράκι. Αν όμως θέλουμε να τους το αποδείξουμε, δεν έχουμε παρά να χρησιμοποιήσουμε κυβάκια ή τετραγωγισμένο χαρτί. Εκεί θα τους ζητήσουμε να φτιάξουν ένα ορθογώνιο σχήμα, λ.χ., 2Χ3 (βλέπε και τη φωτογραφία).

Στη συνέχεια, θα τους ζητήσουμε να σχηματίσουν μια διαίρεση με βάση το σχήμα, π.χ. 6:2=3. Μετά, είτε θα τους προτρέψουμε, χρησιμοποιώντας τα κυβάκια ή το τετραγωνισμένο χαρτί, να βρουν τι θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον διαιρετέο (το εμβαδόν δηλαδή) και τον διαιρέτη (τη μία πλευρά) είτε εμείς θα διπλασιάσουμε το εμβαδόν και την πλευρά όπως φαίνεται στη φωτογραφία.

Έτσι, θα παρατηρήσουν ότι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου δεν αλλάζει ποτέ. Άρα, το αποτέλεσμα της διαίρεσης παραμένει σταθερό.

Μόλις βεβαιωθούμε ότι οι μαθητές το έχουν καταλάβει, προχωράμε στη διαίρεση των κλασμάτων. Κι εδώ είτε τους το δείχνουμε εμείς είτε (σαφώς δυσκολότερο) τους ζητάμε να χρησιμοποιήσουν την προηγούμενη ιδιότητα για να διαιρέσουν δύο κλάσματα. Στη δεύτερη περίπτωση είναι σημαντικό να τους θυμίσουμε τους αντίστροφους αριθμούς και τη διαίρεση με το 1. Όποιον τρόπο και να επιλέξουμε, το θέμα είναι να καταλάβουν οι μαθητές το εξής:

2/3:4/5=

(2/3·5/4):(5/4·4/5)= αντίστροφοι αριθμοί

(2/3·5/4):1= διαίρεση με το 1

2/3·5/4

Για τον ίδιο ακριβώς λόγο έχουμε:

5,5:2,3=

(5,5·10):(2,3·10)=

55:23

Επίσης, και η απλοποίηση στηρίζεται στην ίδια ιδιότητα:

24/32=

(3·8)/(4·8)=

3/4

7 Φεβρουαρίου 2012

Σουρεαλιστικές Διδασκαλίες Ξάνθης

Τώρα μόλις έμαθα από τον φίλο Χρυσόστομο για ένα θεατρικό παραμύθι γεμάτο πειράματα στη μακρινή Ξάνθη. Όσοι μπορούν ας το δουν. Απευθύνεται σε παιδιά 4-9 ετών. Ο Χρυσόστομος αποκλείεται να σας απογοητεύσει. Κρίμα που δεν μπορώ να πάω. Κρίμα...

1 Φεβρουαρίου 2012

Δέκα συμβουλές για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Μια ελεύθερη διασκευή αυτού του άρθρου.

1. Στη διδασκαλία μας οφείλουμε να επιδιώκουμε την κατανόηση. Δυστυχώς, πολλές μαθηματικές έννοιες, σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες, διδάσκονται χωρίς να κατανοούνται από τους μαθητές. Κλασικό παράδειγμα η διαίρεση των κλασμάτων. Γιατί πρέπει να αντιστρέφουμε το β΄ κλάσμα και μετά να τα πολλαπλασιάζουμε;

2. Οι μαθητές πρέπει να εξηγούν πώς έλυσαν ένα πρόβλημα — ακόμα και όταν η λύση είναι σωστή. Γιατί; Για να βελτιωθούν τα ελληνικά τους· για να τα ξεδιαλύνουν ακόμα καλύτερα στο μυαλό τους· για να λειτουργήσουν σαν υπόδειγμα στους συμμαθητές τους·για να κρίνουν τον τρόπο σκέψης τους οι συμμαθητές τους· για να καταλάβουμε τα λάθη τους.

3. Συνεργασία μαθητών. Απαραίτητη. Ένας απλός τρόπος είναι να οργανώσουμε τα παιδιά σε δυάδες. Στην αρχή, το κάθε παιδί επιχειρεί να λύσει μόνο του το πρόβλημα. Μετά, κουβεντιάζουν μεταξύ τους για να φτάσουν σε μια κοινά αποδεκτή λύση. Στο τέλος, παρουσιάζουν τη λύση στην τάξη — μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη. Το ξέρω γιατί το εφαρμόζω. Άρα, μπορείτε κι εσείς.

4. Εξηγούν γραπτώς τη σκέψη τους. Έχουμε ακόμα μεγαλύτερα οφέλη από τη δεύτερη περίπτωση.

5. Τα προβλήματα πρέπει να παρουσιάζονται σε ένα πλαίσιο. Να ξεκινούν από μία συγκεκριμένη αφετηρία (ας ανήκει το πρόβλημα και στον χώρο του παραμυθιού) και να καταλήγουν σε κάποιο αφηρημένο συμπέρασμα. Π.χ., μια φορά, για να εξηγήσω στους μαθητές μου τους λόγους για τους οποίους κατασκευάστηκαν τα κλάσματα στην Αρχαία Αίγυπτο, τους είχα ζητήσει να φανταστούν ότι είναι γραμματείς στην υπηρεσία ενός Φαραώ. Έπρεπε να γράψουν σε πάπυρο πόσο ψωμί έτρωγε κάθε εργάτης, αν μοίραζαν ένα καρβέλι ψωμί ανά τρεις.

6. Αντικείμενα. Μπορεί να είναι και μια απλή αριθμογραμμή. Το σημαντικό είναι να χρησιμοποιούνται σε όλες τις τάξεις.

7. Εμβάθυνση. Το θέμα είναι να καταλάβουν τα παιδιά και όχι να βγει η ύλη. Θυμάμαι μια σχολική σύμβουλο που μας είχε πει ότι εάν μας ρωτήσει ένας μαθητής αν μπορούμε να συγκρίνουμε δύο κλάσματα βρίσκοντας το ΕΚΠ των αριθμητών, αντί να του απαντήσουμε να το δώσουμε σαν πρόβλημα στην τάξη. Με παρόμοιες πρακτικές τα παιδιά μυούνται στην μαθηματική σκέψη.

8. Διαφοροποίηση. Δύσκολο — μα απαραίτητο. Η διδασκαλία πρέπει να προσαρμόζεται στις ανάγκες των μαθητών. Ένας απλός τρόπος είναι να δίνουμε τα ίδια προβλήματα αλλάζοντας τους αριθμούς. Μικρούς στους αδύναμους, μεγάλους ή κλασματικούς-δεκαδικούς στους δυνατούς.

9. Αποδοχή της σύγχυσης και της διαφορετικής πορείας του κάθε μαθητή. Διαφωνήστε με όλες τις συμβουλές. Με αυτή αποκλείεται. Μας βολεύει.

10. Ενθάρρυνση των διαφορετικών τρόπων σκέψης. Πολύ σημαντικό να επιδιώκουμε οι μαθητές μας να βρίσκουν πολλές και διαφορετικές λύσεις. Ούτε αυτή η συμβουλή έχει κόστος. Οι μαθητές μας πρέπει να παιδεύονται.