30 Ιουνίου 2009

Σύνθετα Μοτίβα

Ένα από τα δυσκολότερα κεφάλαια, αν όχι το δυσκολότερο, στα μαθηματικά της ΣΤ΄ είναι τα Σύνθετα Μοτίβα (βλέπε σελίδα 131).Την πρώτη φορά που το δίδαξα δεν μπορώ να πω πως έμεινα ικανοποιημένος από τη διδασκαλία μου. Φέτος το δίδαξα για δεύτερη φορά, οπότε ήμουν σαφώς πιο προετοιμασμένος.

Συγκεκριμένα, αφιέρωσα στο μάθημα μια βδομάδα. Επιπλέον, μόλις τελείωσα τις δύο δραστηριότητες του βιβλίου και την εφαρμογή της άλλης σελίδας, δεν επανέλαβα το λάθος της πρώτης φοράς. Αντί να πάω κατευθείαν στο τετράδιο εργασιών, είπα στους μαθητές μου να βγάλουν τα κυβάκια τους και να προσπαθήσουν να δημιουργήσουν τα δικά τους σύνθετα μοτίβα. Ταυτόχρονα, κοιτώντας το γεωμετρικό σχέδιο, να επιχειρήσουν να βρουν τον κανόνα που θα τους επέτρεπε να ξέρουν τον αριθμό των κύβων οποιουδήποτε μεγέθους σχήματος. Έγινε χαμός. Η αποθέωση της ανακαλυπτικής διδασκαλίας. Τα παιδιά ενθουσιάστηκαν και έφτιαξαν φοβερά μοτίβα τα οποία παρουσίασαν στους υπόλοιπους συμμαθητές τους, ενώ σε μεγάλο βαθμό κατάλαβαν πώς πρέπει να αξιοποιούν το γεωμετρικό μοτίβο προκειμένου να ανακαλύπτουν τον κανόνα που τους επιτρέπει να υπολογίσουν τους κύβους σ' οποιοδήποτε μέγεθος θέλουν.

Παρακάτω παραθέτω δύο από τα μοτίβα που έφτιαξαν δύο διαφορετικά παιδιά, όχι και τα πιο δυνατά της τάξης στα μαθηματικά, καθώς και το γενικό κανόνα που τα ίδια ανακάλυψαν. Όπως βλέπετε, ενώ δεν υπήρξε καμιά επικοινωνία μεταξύ τους, και τα δύο μοτίβα έχουν το ίδιο αριθμητικό και ελαφρώς διαφορετικό γεωμετρικό μοτίβο.

Ένας άλλος μαθητής μου μου παρουσίασε το εξής μοτίβο:

Ανάγκασε όλη την τάξη και μένα μαζί να ψάχνουμε το γενικό κανόνα. Πάντως, επειδή είναι αρκετά περίεργο, καλό είναι, αν την παρούσα ανάρτηση τη διαβάσει κάποιος μαθηματικός, να σχολιάσει το συγκεκριμένο σημείο.

Βεβαίως, όπως πάντα, υπάρχουν και κάποιοι προβληματισμοί. Έτσι, το πρώτο κομμάτι της διδασκαλίας, όταν δηλαδή δουλεύαμε στα σχολικά βιβλία, ήταν κάτι ανάμεσα σε άμεση και αυστηρά καθοδηγούμενη ανακαλυπτική διδασκαλία. Αυτό ήταν κάτι που δε μου άρεσε. Όχι μόνο επειδή δεν είμαι οπαδός ούτε της μιας αλλά ούτε και της άλλης μεθόδου όσον αφορά τη διδασκαλία των μαθηματικών, αλλά και γιατί το μόνο που κέρδισαν τα παιδιά ήταν ότι κατάλαβαν στο περίπου τι ήθελα από αυτά, όταν τους είπα να φτιάξουν τα δικά τους μοτίβα. Στην πράξη η όποια κατανόηση επιτεύχθηκε μόλις τα παιδιά έδρασαν ελεύθερα. Στο μέλλον πιθανότατα θα ασχοληθώ μόνο με την πρώτη δραστηριότητα του σχολικού βιβλίου, για να πάρουν μια γεύση για το τι θα τους ζητήσω, και μετά κλείσιμο των βιβλίων και όπου κατευθύνουν το μάθημα οι επόμενοι μαθητές μου.

24 Ιουνίου 2009

Μέσος Όρος Ι

Θυμάμαι στο σχολείο ότι ήμουν αρκετά καλός στα μαθηματικά. Στο Δημοτικό με δυο άλλους συμμαθητές μου ήμασταν πάντα μερικές σελίδες πιο κάτω από τους υπόλοιπους συμμαθητές μας. Οι καθηγητές στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο έλεγαν πως ήμουν καλός στα Μαθηματικά. Παρά όμως όλο αυτό το μυαλό, όταν μπήκα στο Παιδαγωγικό, συνειδητοποίησα πως μάλλον δεν ήξερα καθόλου Μαθηματικά. Λόγου χάρη, δεν καταλάβαινα ούτε τι είναι ο μέσος όρος ούτε γιατί υπολογίζεται με το γνωστό σ’ όλους μας τρόπο. Γιατί αυτή η αντίφαση;

Ο λόγος πιστεύω είναι απλός: η παπαγαλία έκανε ξανά το θαύμα της. Θυμόμαστε όλοι πως, όταν κάναμε στο σχολείο το μέσο όρο, ο εκπαιδευτικός αμέσως εισήγαγε τον τύπο χωρίς φυσικά την παραμικρή πρόθεση να τον εξηγήσει. Επομένως, πώς θα καταλαβαίναμε από πού απορρέει;

Για να αποφύγουν και οι μαθητές μου έναν παρόμοιο σκόπελο, κατόπιν μελέτης, αποφάσισα να διδάξω το μέσο όρο με τον ακόλουθο τρόπο:


Σε πρώτη φάση, οι μαθητές φτιάχνουν με κυβάκια, όπως δείχνει η φωτογραφία, τρεις ή περισσότερους άνισους πύργους. Αυτό που τους ζητάμε είναι να μετακινήσουν έτσι τα κυβάκια, ώστε οι πύργοι να γίνουν ίσοι.


Καλό είναι στην αρχή να προσέξουμε ο συνολικός αριθμός των κύβων να είναι τέτοιος, που να μην περισσεύει κανένας κατά τη διαδικασία εξίσωσης των πύργων. Βέβαια, αυτό δεν σημαίνει πως πρέπει να παραλείψουμε ολότελα και αυτή την περίπτωση. Τα κυβάκια που περισσεύουν μπορούν να γίνουν το αλατοπίπερο αυτής της δραστηριότητας!

Μόλις καταλάβουν τη διαδικασία οι μαθητές (μπορεί να χρειαστούν αρκετές δοκιμές, ειδικά όταν μπούμε στο στάδιο που θα περισσεύουν κυβάκια), μπορούμε να τους εξηγήσουμε ότι ο αριθμός των κύβων στους ίσους πύργους ονομάζεται μέσος όρος (αυτή είναι η μία από τις δύο σημασίες του μέσου όρου).

Η συνέχεια είναι το κρίσιμο σημείο. Υπάρχουν πολλοί δρόμοι που μπορείς να ακολουθήσεις, στην ουσία όμως όλα εξαρτώνται από το προσωπικό στιλ και το διαθέσιμο χρόνο. Έτσι, μπορούμε να δώσουμε μεγάλους αριθμούς που δεν μπορούν να παρασταθούν με κυβάκια στους μαθητές μας και να τους ζητήσουμε να βρουν το μέσο όρο. Εναλλακτικά, μπορούμε να ζητήσουμε να βρουν έναν πιο γρήγορο τρόπο για να υπολογίζουν το μέσο όρο εμπλέκοντας κάποιες από τις τέσσερις πράξεις, αφού δεν είναι δυνατόν να έχουμε πάντα μαζί μας κυβάκια! Φυσικά, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να αντιστοιχίσουν τις πράξεις με ενέργειες πάνω στα κυβάκια. Έτσι, η πρόσθεση όλων των τιμών αντιστοιχεί στην ένωση όλων των κύβων σε μια μεγάλη ομάδα, ενώ η διαίρεση ουσιαστικά είναι ο χωρισμός της μεγάλης ομάδας σε ίσους πύργους.

Όταν θα το κάνετε πρώτη φορά, πιθανότατα θα βρουν τον τύπο κάποιοι μαθητές και θα τον ανακοινώσουν στους υπόλοιπους. Αυτό δε σημαίνει πως όλη η τάξη το κατάλαβε. Για να γίνει αυτό, η διαδικασία πρέπει να επαναληφθεί αρκετές φορές, ενώ η δική μας προσοχή πρέπει να εστιαστεί στους πιο αδύναμους. Τεχνικές όπως να μικρύνουμε το συνολικό αριθμό των κύβων ή ακόμα και τον αριθμό των πύργων, σίγουρα θα μας διευκολύνουν. Επίσης, απαραίτητο είναι εκτός από κυβάκια να χρησιμοποιηθούν και άλλα πλαίσια, όπως χρήματα (υπάρχουν ψεύτικα νομίσματα στα σχολικά βιβλία), το μήκος του παπουτσιού των παιδιών που μπορεί να παρασταθεί με ένα στενόμακρο χαρτόνι πάνω στο οποίο θα αναγράφεται το μήκος του ή ό,τι άλλο φανταστείτε.

Όποιον τρόπο πάντως κι αν ακολουθήσετε, σίγουρα οι μαθητές σας θα καταλήξουν να ξέρουν περισσότερα μαθηματικά από μένα!

21 Ιουνίου 2009

Ηλεκτρογεννήτρια - Ηλεκτροκινητήρας

Τι μπορείς να κάνεις, αν έχεις δύο ηλεκτρογεννήτριες στην ΣΤ΄; Πολλά και ενδιαφέροντα. Ας αρχίσουμε.


Καταρχάς, τα παιδιά μπορούν να δουν τη δομή μιας ηλεκτρογεννήτριας. Οι φωτογραφίες του δυναμό στο σχολικό βιβλίο δεν επαρκούν για να κατανοήσουν οι μαθητές τις αρχές και τον τρόπο λειτουργίας της.


Δεύτερον, περιστρέφοντάς την τα παιδιά βλέπουν την παραγωγή του ηλεκτρικού ρεύματος.

Τρίτον, τα παιδιά δοκιμάζουν να την περιστρέψουν με το λαμπάκι και χωρίς. Διαπιστώνουν πως στην πρώτη περίπτωση η περιστροφή είναι δυσκολότερη. Μέσα από συζήτηση είναι δυνατόν οι μαθητές να διαπιστώσουν πως στην πρώτη περίπτωση δυσκολευόμαστε περισσότερο επειδή τώρα μέρος της ενέργειας που δίνουμε στο σύστημα μετατρέπεται σε ηλεκτρική και κινητική ενέργεια, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η ενέργεια που δίνουμε μετατρέπεται μόνο σε κινητική.


Στη συνέχεια, συνδέουμε μια μπαταρία όπως φαίνεται στη φωτογραφία και οι μαθητές ανακαλύπτουν τον ηλεκτροκινητήρα. Οι μαθητές μου με ρώτησαν τι θα γίνει αν αντιστρέψουμε τη σύνδεση των καλωδίων. Διαπίστωσαν τότε πως ο ηλεκτροκινητήρας περιστρέφεται προς την άλλη μεριά!


Στην παραπάνω εικόνα περιστρέφουμε την ηλεκτρογεννήτρια και το ρεύμα που παράγεται περιστρέφει τον ηλεκτροκινητήρα. Ουσιαστικά μ’ αυτήν τη δραστηριότητα και την προηγούμενη οι μαθητές διαπιστώνουν πως ο ηλεκτροκινητήρας και η ηλεκτρογεννήτρια είναι το ίδιο πράγμα. Αυτό που αλλάζει είναι η ροή ενέργειας. Στην ηλεκτρογεννήτρια δίνουμε μηχανική ενέργεια και μετατρέπεται σε ηλεκτρική, ενώ στον ηλεκτροκινητήρα γίνεται το αντίστροφο.


Κάποιο παιδί στη συνέχεια με ρώτησε τι θα γίνει αν συνδέσουμε και το λαμπάκι και τον ηλεκτροκινητήρα. Όπως μάντεψαν σωστά, θα ανάψει το λαμπάκι και θα κινηθεί ο ηλεκτροκινητήρας, μόνο που αυτή τη φορά η περιστροφή της ηλεκτρογεννήτριας θα είναι ακόμα πιο δύσκολη.


Τέλος, οι μαθητές θέλησαν να βάλουν στο παιχνίδι και το λαμπάκι της ηλεκτρογεννήτριας. Αυτή τη φορά δεν άναψε κανένα λαμπάκι ούτε κινήθηκε ο ηλεκτροκινητήρας. Το γνωστό σε όλους μας μπλακάουτ.

Μειονεκτήματα της συγκεκριμένης διδασκαλίας; Μα φυσικά το ότι δεν είχαν οι μαθητές μπροστά τους μια δική τους ηλεκτρογεννήτρια και έναν ηλεκτροκινητήρα. Για να το λύσω αναγκαζόμουν να σηκώνω έναν έναν μαθητή στην έδρα προκειμένου να εκτελέσει τις δραστηριότητες ο ίδιος. Βεβαίως, αυτό δεν έλυσε οριστικά το πρόβλημα. Χρήσιμο θα ήταν τα παιδιά να έκαναν μόνα τους τις διάφορες συνδέσεις, κάτι που δυστυχώς ήταν αδύνατο να γίνει.

Επίσης άλλο μειονέκτημα της παρούσας διδασκαλίας ήταν ότι έλειπε από τη συζήτηση η θερμότητα. Θα παρακαλούσα φίλους εκπαιδευτικούς να βοηθήσουν στο συγκεκριμένο θέμα ή να σχολιάσουν ό,τι άλλο θέλουν.